在安卓手机上自主下载安装新浏览器并开启“允许未知应用”的步骤如下：
1. 首先，确保你的安卓手机已经root。如果没有root，你需要先root你的手机。你可以使用一些工具，如kingroot、magisk等来root你的手机。
2. 安装一个可以访问系统文件的apk安装器，如apktool。
3. 下载你想要的新浏览器的apk文件。你可以在浏览器的官方网站上找到最新版本的浏览器，然后下载apk文件。
4. 打开apk安装器，将下载好的apk文件拖拽到apk安装器中。
5. 选择“安装”选项，apk安装器会自动开始安装apk文件。
6. 安装完成后，点击“完成”按钮。
7. 返回到主界面，找到浏览器的图标，点击进入。
8. 在浏览器的设置中，找到“允许未知应用”的选项，将其设置为“是”。这样，你就可以在安装未知应用时获得权限了。
9. 最后，你可以通过浏览器的搜索功能，输入你想要的浏览器名称，然后点击搜索结果中的链接进行下载安装。